已知A(a,a^2)为抛物线y=x^2上任意一点,直线l为过点A的切线,设直线l交y轴于点B

y=x^2, y'=2x
即 l的斜率是2a
l的方程是y-a^2=2a(x-a),即 y=2ax-a^2
B(0,-a^2)
设 P(x,y)
AP=(x-a,y-a^2)=2PB=2(-x, -a^2-y)
x-a=-2x , y-a^2=-2a^2-2y
a=3x, 3y=-a^2
故：3y=-(3x)^2
即 y=-3x^2（P点的轨迹方程）

2. l:y=2ax-a^2
C到l的距离d=|1/12 +a^2|/√(1+4a^2)
=1/12* (1+12a^2)/√(1+4a^2)
令 √（1+4a^2)=t>=1
d=1/12*((3t^2-2)/t
=1/12((3t-2/t)是增函数
故 当t=1时，d最小值是1/12
此时 a=0
l的方程是 y=0

设P坐标（x，y），直线l的方程为y -a^2=2a（a/2-a），在此方程中，令y=0，得B（a/2，0），由AP=2向量PB得（x-a，y-a^2）=2（a/2-x，-y），即x-a=a-2x，y-a^2=-2y，从上面的两个方程中消去a，即可得P的轨迹方程。